А. И. Батурин родился 4 июня 1904 года в городе Ошмяны (ныне Гродненская область Беларуси) в семье сельского учителя. В год потерял отца, в семье было четверо детей.
В 1911 году семья переехала в Одессу. Работал автомехаником. Выступал в самодеятельности. По направлению Александр Батурин поступил на учёбу в Петроградскую консерваторию. В 1924 году Батурин закончил с отличием ЛГК имени Н. А. Римского-Корсакова.
По некоторым данным, по рекомендации ректора консерватории А. К. Глазунова, был направлен с целью совершенствования в Рим, где он поступил в Музыкальную академию «Санта Чечилия» и одновременно выступал в миланском театре «Ла Скала». Однако некоторые исследования аргументированно ставят этот факт биографии Батурина под сомнение: «Направление молодого певца для совершенствования в фашистскую Италию (режим Муссолини был установлен в 1922 году) в 1925 году вызывает сомнения. Одного, без группы, без знания языка? (…) В изданной в СССР в 1989 году книге „Театр Ла Скала“, на странице 64, названы имена русских певцов, певших в те годы (1925—1949) в Ла Скала (Кравченко, Веселовский, Ждановский), но имя Батурина не названо».
С 1927 года солист Большого театра. Помимо оперных партий, исполнял русские народные песни, романсы, современные эстрадные произведения, в том числе песни «Марш летчиков», «Моя страна», «Прощай, папанинская льдина», «Часовой» и другие.
Член КПСС с 1945 года.
С 1948 года в МГК имени П. И. Чайковского вёл класс сольного пения (среди его учеников А. Ф. Ведерников, Н. Гяуров). Подготовил научно-методический труд «Школа пения».
Снялся в трёх кинофильмах: «Простой случай», «Концерт-вальс» и «Земля».
А. И. Батурин умер 31 января 1983 года. Похоронен на Кунцевском кладбище в Москве.
Ах, Настасья
Вдоль по Питерской
Всё, чем теперь сильны мы и богаты
Девушка, прощай
